〇大学院理学研究科数学専攻 准教授 赤間 陽二
【発表のポイント】
- 数式を使ったモデルで経済の様々な課題を表現し、解析する数理経済学等で利用される因子分析モデル注1の因子と平均相関係数との数学的関係を明らかにしました。因子分析モデルの重要な因子の決定に供され、同モデルの計算効率の向上が見込まれます。
- この知見は、金融時系列データ等の経済データの変動を統計的に説明したり、予測したりする際に有益です。また経済に限らず、電力のポートフォリオやワクチン設計の統計的方法の改善にも応用できると期待されます。
【概要】
現代はデータサイエンスの時代であり、高次元のデータを高速・高精度で分析する手法の開発がますます重要になってきています。日経平均株価注2などの金融時系列データは多種多様な事象から影響を受けており、経済政策や金融取引のために重要です。こうした株価などの複数の変数で構成されたデータを分析する数学的モデルの一つが因子分析モデルです。因子分析では少数の要因（因子）によって簡潔に説明でき、精度の高い経済政策や金融取引をタイミングよく実施することにつながります。
因子の特定に際しては、変数の間の相関係数を網羅的に算出して相関行列注3を作成した上で、相関行列を効率よく説明するための「軸」（固有ベクトル）を計算します。固有ベクトルの計算は、取り扱う変数が増えれば増えるほど難しくなります。
東北大学大学院理学研究科数学専攻の赤間陽二准教授は、大規模高次元データから作られるサンプル相関行列の固有値注4の極限分布注5をランダム行列理論注6により明示化しました。因子分析モデルにおいて、重要な因子、つまり、大きな固有値を持つ因子を容易に選択できるようになり、因子分析の速度の向上に資するものです。
因子分析は経済学のみならず、心理学、医学など実験や定量的な分析を重視する様々な分野でも利用されており、本研究が寄与する領域やトピックは広範に及ぶと期待されます。
本研究は2023年4月19日に経済理論の専門誌International Journal of Theoretical and Applied Financeに掲載されました。
図2. S&P500のセクターごとの、株価リターンの相関係数の系列の時間平均(縦軸)と、λ/N (横軸)
【用語解説】
- 注１ 因子分析モデル
一連の変数の振る舞いを、より少数の基礎因子によって説明しようとする統計モデルのことです。因子分析モデルは、心理学をはじめ金融分野などで利用されます。金融分野において、金利や経済成長率、市場の変動などの少数の因子によって、ポートフォリオや資産のパフォーマンスを説明するためによく用いられます。 - 注２ 日経平均株価
日経平均、日経225とも呼ばれる日本の株式市場を代表する株価指数。各構成銘柄の株価に「株価換算係数」を乗じて「採用株価」とし、それらを合計したものを指数の連続性を維持するために調整された「除数」で割って求める。 - 注３ 相関行列
複数の変数間の相関係数を行列の形式でまとめたもので、統計学の分野で広く使われます。相関行列は、各変数のペア間の相関係数を表した正方形の行列で、対角線上には1が並びます。相関係数は、2つの変数間の線形関係の強さを表し、-1から1までの値をとります。相関係数が1に近い場合は、正の相関があり、二つの変数の一方が大きくなれば他方も大きくなるという傾向があります。 - 注４ 固有値
線形代数学において、正方行列がベクトルに作用する際に、そのベクトルをスカラー倍する数のことを指します。具体的に言うと、N次の正方行列Aに対して、ベクトルvがAv = λvを満たすとき、数λをvの固有値と呼びます。ここで、vは非ゼロベクトルで、AはN次の正方行列です。固有値は、行列の性質を表す重要な指標の一つです。 - 注５ 極限分布
サンプルの大きさと次元の比があらかじめ決まった定数に収束するように、両者を無限大にした極限における分布。 - 注６ ランダム行列理論
数学や物理学などの分野で用いられる、ランダムな行列の統計的な性質を研究する理論です。ランダム行列とは、行列の要素が確率的に選ばれる行列のことです。ランダム行列理論は、確率論、統計学、数学物理学などの分野で研究されており、多くの数学者や物理学者によって貢献がされています。
問い合わせ先
（研究に関すること）
東北大学大学大学院理学研究科数学専攻
准教授 赤間 陽二（あかま ようじ）
（報道に関すること）
東北大学大学院理学研究科
広報・アウトリーチ支援室
